Fonction logarithme - Calcul d'aire - Bac ES Polynésie française 2008
Exercice 4
7 points - Commun à tous les candidats
Le plan est muni d'un repère orthogonal 
.
1.On considère la fonction 
définie sur l'intervalle ![]0; +oo[](/files/formules/f_72507d7d4fe8ae43632694df3ca5bfca.gif)
par : 
.
Le tableau de variation de la fonction est donné ci-dessous :
définie sur l'intervalle par : .Le tableau de variation de la fonction
est donné ci-dessous :
En utilisant une calculatrice, on a obtenu 
.
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction sur l'intervalle .
2.On considère la fonction 
définie sur l'intervalle par : 
.
On note
la courbe représentative de la fonction dans le repère .
définie sur l'intervalle par : .On note
la courbe représentative de la fonction dans le repère .
a.Déterminer la limite de la fonction en 0.
en 0.b.Déterminer la limite de la fonction en 
.
en .3.On note 
la fonction dérivée de la fonction .
la fonction dérivée de la fonction .
a.Calculer 
et montrer que pour tout réel 
de l'intervalle , on a : 
et montrer que pour tout réel de l'intervalle , on a : b.En déduire le sens de variation de sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.
sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.c.Déterminer le signe de 
pour tout réel supérieur ou égal à e.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
pour tout réel supérieur ou égal à e.Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
4.Soit h la fonction définie sur par : 
.
par : .
a.Calculer la dérivée 
de 
.
de .b.En remarquant que pour tout de l'intervalle , on a : 
, trouver une primitive 
de la fonction sur l'intervalle .
de l'intervalle , on a : , trouver une primitive de la fonction sur l'intervalle .c.Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe 
, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
(on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).
, l'axe des abscisses et les droites d'équation et (on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).