Intégrales et suites - Bac S Pondichéry 2009
Exercice 1
7 points - Commun à tous candidats
Soit 
la fonction définie sur l'intervalle 
par: 
On désigne par 
la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal 
du plan. Cette courbe est représentée ci-dessous.
Partie A
1.
a.Déterminer la limite de la fonction en 
.
en .(On pourra écrire, pour 
différent de 0 : 
).
b.Démontrer que admet un maximum en 
et calculer ce maximum.
admet un maximum en et calculer ce maximum. 2.Soit 
un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de , l'aire 
de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives 
et 
. Quelle est la limite de quand tend vers ?
un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de , l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et . Quelle est la limite de quand tend vers ?
Partie B
On considère la suite 
définie pour tout entier naturel 
par: 
. On ne cherchera pas à expliciter 
.
1.
a.Démontrer que, pour tout entier naturel différent de 0 et de 1,
différent de 0 et de 1,
b.Quel est le sens de variation de la suite 
?
?
c.Montrer que la suite converge. Quelle est sa limite?
converge. Quelle est sa limite?
2.
a.Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif , 
.
, .
b.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de
obtenues à l'aide d'un tableur, pour entier compris entre 3 et 7.
On donne ci-dessous les valeurs de
obtenues à l'aide d'un tableur, pour entier compris entre 3 et 7. |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
0,4999382951 | 0,4999999437 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
Interpréter ces résultats.
Partie A
1.
a.Pour différent de 0 : .
En posant
on a :
Par ailleurs :
donc, par produit des limites:
différent de 0 : .En posant
on a :Par ailleurs :
donc, par produit des limites:
b.La dérivée de la fonction 
est la fonction 
(dérivée de fonction composée 
)
On dérive grâce à la formule de dérivation d'un produit 
Le facteur
est positif pour 
.Le facteur 
est toujours positif donc 
est du signe de 
qui s'annule pour 
et dont le coefficient directeur est négatif.
Le tableau de variation de est :
admet donc un maximum pour 
.
est la fonction (dérivée de fonction composée )On dérive
grâce à la formule de dérivation d'un produit Le facteur
est positif pour .Le facteur est toujours positif donc est du signe de qui s'annule pour et dont le coefficient directeur est négatif.Le tableau de variation de
est : admet donc un maximum pour .
2.L'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et est donnée par :
Or
et la fonction 
est la dérivée de la fonction 
.
Une primitive de est donc 
.
Donc:
![F(a)=int(0;a)f(x)dx=[[-1/2e^(-x²)]]_0^a=-1/2e^(-a²)+1/2](/files/formules/f_3a5a70d399e538b4e41875f0069e2757.gif)
(Remarque:
est la primitive de qui s'annule pour )
de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et est donnée par :Or
et la fonction est la dérivée de la fonction .Une primitive de
est donc .Donc:
(Remarque:
est la primitive de qui s'annule pour )
On a immédiatement :
Partie B
1.
a.D'après la partie A, est décroissante pour 
donc si 
:
D'après les propriétés de l'intégrale, on a donc :
soit, comme
et 
sont des constantes :
Or :
![int(n;n+1)1dx=[[x]]_n^(n+1)=n+1-n=1](/files/formules/f_3ed2e8e10f91e975517dfd622ae58969.gif)
donc :
c'est à dire :
est décroissante pour donc si :D'après les propriétés de l'intégrale, on a donc :
soit, comme
et sont des constantes :Or :
donc :
c'est à dire :
b.Pour 
, d'après la question précédente : 
et 
donc 
.
La suite est décroissante.
, d'après la question précédente : et donc .La suite
est décroissante.
c.La fonction étant positive sur 
, 
pour tout entier .
La suite est décroissante à partir du rang 2 et minorée par 0. Elle est donc convergente.
D'après le théorème des gendarmes :
donc, d'après la partie A :
c'est à dire :
étant positive sur , pour tout entier .La suite
est décroissante à partir du rang 2 et minorée par 0. Elle est donc convergente.D'après le théorème des gendarmes :
donc, d'après la partie A :
c'est à dire :
2.
a.Montrons par récurrence que pour tout entier naturel strictement positif, .
Initialisation
Cette propriété est vraie pour
; en effet :
et 
Hérédité
Supposons pour un certain entier fixé.
d'après la relation de Chasles pour les intégrales.
Donc :
ce qui prouve bien l'hérédité.
strictement positif, .Initialisation
Cette propriété est vraie pour
; en effet : et Hérédité
Supposons
pour un certain entier fixé.d'après la relation de Chasles pour les intégrales.
Donc :
ce qui prouve bien l'hérédité.
Donc, pour tout entier naturel strictement positif, .
b.Le tableau confirme que 
En réalité on n'a pas exactement
. Ce résultat est dû à l'arrondi effectué par le tableur.
En effet, d'après la partie A.
Or
n'est pas pris en compte par le tableur qui ne conserve apparemment que 10 décimales.
En réalité on n'a pas exactement
. Ce résultat est dû à l'arrondi effectué par le tableur.En effet, d'après la partie A.
Or
n'est pas pris en compte par le tableur qui ne conserve apparemment que 10 décimales.