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Intégrales et suites - Probabilités - Bac S Amérique du Nord 2009

Exercice 2

5 points - Commun à tous candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b.

  • Si u >= 0 sur [a; b] alors int_a^b u(x)dx >= 0.
  • Pour tous réels alpha et beta, int_a^b [alpha u(x) + beta v(x)]dx = alpha int_a^b u(x)dx+ beta int_a^b v(x)dx.

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b et si, pour tout x de [a; b], f(x) <= g(x) alors int_a^b f(x)dx <= int_a^b g(x)dx.
ﾠ

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;1] par f(x) = e^(-x^2) et on définit la suite (u_n) par :

  • u_0 =int_0^1f(x)dx= int_0^1 e^(-x^2)dx
  • pour tout entier naturel n non nul, u_(n) = int_0^1 x^n f(x)dx = int_0^1 x^n e^(-x^2)dx
1.

a.Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [0;1], 1/e <= f(x) <= 1.
b.En déduire que 1/e <= u_0 <= 1.
2.Calculer u_1.
3.

a.Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <= u_(n).
b.Étudier les variations de la suite (u_(n)).
c.En déduire que la suite (u_(n)) est convergente.
4.

a.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_(n) <= (1)/(n+1).
b.En déduire la limite de la suite (u_(n)).
Corrigé
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Si, pour tout x de [a; b], f(x) <= g(x) alors g-f est positive ou nulle sur [a; b].
Il suffit alors d'appliquer successivement les deux prérequis de l'énoncé.

Partie B

1.

a.Si 0<=x<=1 alors :
0<=x^2<=1 (justifiez...)
-1<=-x^2<=0 (justifiez...)
1/e <= e^(-x^2) <= 1. (justifiez...)
b.u_0=int(0;1)e^(-x^2)dx.
On applique le théorème montré au A à l'encadrement de la question précédente :
int(0;1)1/edx <= int(0;1)e^(-x^2)dx <= int(0;1)1dx
d'où
1/e <= u_0 <= 1.
2.u_1=int(0;1)xe^(-x^2)dx
xe^(-x^2)=-1/2*(-2xe^(-x^2))
et x|->-2xe^(-x^2) est la dérivée de x|->e^(-x^2) donc
u_1=int(0;1)xe^(-x^2)dx= [[-1/2e^(-x^2)]]_0^1=1/2(1-1/e)
3.

a.On utilise la positivité de l'intégrale et le fait que x^ne^(-x^2)>=0 sur [0; 1]
b.u_(n+1)-u_n=int(0;1)x^n(x-1)e^(-x^2)dx
sur [0; 1], x-1 est négatif donc x^n(x-1)e^(-x^2) l'est aussi.
On en déduit que la suite (u_n) est décroissante.
c.La suite (u_(n)) est décroissante et minorée par 0 donc convergente.
4.

a.D'après 1.a. e^(-x^2)<=1 sur [0; 1] donc:
int(0;1)x^ne^(-x^2)dx <= int(0;1)x^ndx =1/(n+1)
b.0<=u_(n)<=1/(n+1)
Donc, d'après le théorème des gendarmes :
lim_(n->oo)u_n=0

ﾠ

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