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Intégrales - Interprétation graphique - Bac S Liban 2008

Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère une fonction dérivable sur l'intervalle ]-oo; +oo[ . On donne le tableau de ses variations :
Tableau de variations Tableau de signes

Soit la fonction définie sur ]-oo; +oo[ par g(x) = int(0;x)f(t)dt .

Partie A

1.En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de représenter

dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).

2.

a.Interpréter graphiquement g(2)

.

b.Montrer que 0 <= g(2) <= 2,5

.

3.

a.Soit x un réel supérieur à 2.
Montrer que int(0;x)f(t)dt>=x-2

. En déduire que g(x) >=x-2

.

b.Déterminer la limite de la fonction

en

.

4.Étudier le sens de variation de la fonction

sur l'intervalle ] - oo ;+oo [

.

Partie B

On admet que pour tout réel t, f(t) = (t -1)e^(-t) +1 .

1.À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l'intégrale
int(0;x)(t -1)e^(-t)dt

2.En déduire que pour tout réel x, g(x) = x(1-e^(-x))

.

3.Déterminer la limite de la fonction

en

.

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