Intégrales - Encadrements - Bac S - Amérique du Nord 2008
Exercice 4
7 points - Commun à tous les candidats
Partie A
Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle ![[a, b]](/files/formules/f_022022f289db140169cd9514f74ee648.gif)
avec a < b.
- Si 
sur alors 
.
- Pour tous réels 
et 
, ![int(a;b) [alpha u(x) + beta v(x)] `d`x = alpha int(a;b) u(x) `d`x + beta int(a;b) v(x) `d`x.](/files/formules/f_09f7d7d9e007d1b89d413e42e8ff2713.gif)
Démontrer que si 
et g sont deux fonctions continues sur un intervalle avec a < b et si, pour tout 
de , 
alors 
.
Partie B
On considère la fonction définie sur 
par : 
. Sa courbe représentative 
ainsi que la droite 
d'équation 
sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1.Montrer que est croissante et positive sur 
.
est croissante et positive sur .2.
a.Montrer que la courbe admet pour asymptote la droite D.
admet pour asymptote la droite D.b.Etudier la position de par rapport à D.
par rapport à D.3.Soit 
l'intégrale définie par : ![I = int(0;1) ln(1+e^(-x)) `d`x = int(0;1) [f(x)-x] `d`x](/files/formules/f_3675d562dd70de514bae36a49d316d49.gif)
. On ne cherchera pas à calculer .
l'intégrale définie par : . On ne cherchera pas à calculer .
a.Donner une intérprétation géométrique de .
.b.Montrer que pour tout réél 
, on a 
.
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur
par 
)
On admettra que pour tout réel, on a 
.
, on a .(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur
par )On admettra que pour tout réel
, on a .c.En déduire que pour tout de , on a : 
.
de , on a : .d.Montrer que 
.
.e.En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
4.On désigne par M et N les points de même abscisse appartenant respectivement à et D.
On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
Déterminer l'ensemble des valeurs de pour lesquelles M et N sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
appartenant respectivement à et D.On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
Déterminer l'ensemble des valeurs de
pour lesquelles M et N sont indiscernables.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.