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Intégrales - Calcul d'aire - Bac S Métropole 2008

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les courbes C_f et C_g données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O; veci, vecj) , les fonctions et définies sur l'intervalle ]0 ; +oo[ par : f(x) = ln x et g(x) = (ln x)^2 .

C_f et C_g

1.On cherche à déterminer l'aire

(en unités d'aire) de la partie du plan hachurée.
On note I =int(1;e) ln x `d`x

I =int(1;e) ln x `d`x

et

J = int(1;e) (ln x)^2 `d`x

.

a.Vérifier que la fonction

définie sur l'intervalle ]0 ; +oo[

]0 ; +oo[

par

F(x) = xln x - x

est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire

.

b.Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J = e - 2I

J = e - 2I

.

c.En déduire

.

d.Donner la valeur de

.

2.Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
Pour

appartenant à l'intervalle [1; e], on note M le point de la courbe C_f

C_f

d'abscisse

et N le point de la courbe C_g

C_g

de même abscisse.
Pour quelle valeur de

, la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

1.

a. Il suffit de dériver la fonction

sur

]0;+oo[

:

F'(x)=ln x + x*1/x-1=ln x+1-1=f(x)

Donc

est une primitive de la fonction

, sur

]0;+oo[

.
Par conséquent :
I = int_1^e f(x) `d`x = [F(x)]_1^e

I = int_1^e f(x) `d`x = [F(x)]_1^e

I = F(e)-F(1)=(eln e-e)-(ln1-1)=0-(-1)=1

b. Sur

]0;+oo[

, on pose :
u(x) =(ln x)^2

u(x) =(ln x)^2

v'(x)=1

On a donc :
u'(x) = 2ln x/x

u'(x) = 2ln x/x

v(x)=x

.
D'où:

J = int_1^e u(x) v'(x) `d`x = [u(x)v(x)]_1^e - int_1^e u'(x)v(x) `d`x

J = [x(ln x)^2]_1^e -int_1^e2ln x/x*x `d`x

J = e-0-2int_1^eln x dx =e-2I

c. Comme

I = 1

:

J=e-2

d. Sur [1 ; e], 0<=ln(x)<=1

0<=ln(x)<=1

donc

0<=lnx<=(lnx)^2

.
La courbe C_f

C_f

est donc située au-dessus de C_g

C_g

dans le demi plan d'équation y>=0

y>=0

.
L'aire A de la partie hachurée s'obtient donc en effectuant la différence J - I :
A = I - J = 1-(e-2)=3-e

A = I - J = 1-(e-2)=3-e

2. Le point M a pour coordonnées (x,f(x))

(x,f(x))

et le point N (x,g(x))

(x,g(x))

.
MN =

f(x)-g(x) = ln x - (ln x)^2

La fonction phi : x|-> ln x-(ln x)^2

phi : x|-> ln x-(ln x)^2

est définie et dérivable sur [1 ; e] et :
$phi'(x) = 1/x-2ln x/x= (1-2\ln x)/x$
phi'(x)>=0 <=> 1 - 2ln x>=0 <=> lnx<=1/2 <=> x<=e^(1/2)=sqrt(e)

phi'(x)>=0 <=> 1 - 2ln x>=0 <=> lnx<=1/2 <=> x<=e^(1/2)=sqrt(e)

et :

phi(sqrt(e))=1/2-1/4=1/4

Le tableau de variations de phi

phi

est :

Tableau de variations Tableau de signes

La valeur maximale de MN est donc 1/4

1/4

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