Etude de fonction - Calcul d'aire - Bac ES Centres étrangers 2009

Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par

On désigne par la fonction dérivée de et par la primitive de sur qui vérifie .

Dans le repère orthonormal d'unité 2cm de l'annexe 2, la courbe tracée représente la fonction et la droite est sa tangente au point .

Première partie

1. La courbe admet pour asymptotes en la droite d'équation et en la droite d'équation . En déduire et .

2. Démontrer que, pour tout nombre réel .

3. Etudier le signe de suivant les valeurs de et en déduire le sens de variation de sur .

4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite .

 
Deuxième partie

1. Pour tout réel , exprimer en fonction de .

2. Vérifier que .

3. Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe , les axes de coordonnées et la droite d'équation .
Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.