Etude de fonction et calcul d'aire

Soit la fonction définie sur l'intervalle par : .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal et la droite d'équation . La courbe est partiellement représentée ci-dessous.

1.Déterminer la limite de la fonction en .

2.On pose .

a.Montrer que .

b.Donner une valeur approchée à près de .

3.On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle et on note la fonction dérivée de sur cet intervalle.

a. Calculer , pour tout élément de l'intervalle .

b.Etudier le signe de sur l'intervalle , et dresser le tableau de variations complet de la fonction sur cet intervalle.

4.Justifier que et que, pour tout de l'intervalle , .
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

5.Sur le graphique donné ci-dessous :

a.Placer le point de la courbe d'abscisse ;

b.Tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse ;

c.Tracer la droite .

6.On note l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et .

a.Hachurer sur le graphique, le domaine , puis exprimer l'aire [m]A[/m] à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.

b.Déterminer la valeur exacte de l'aire , puis en donner la valeur arrondie au centième.

Courbe de la fonction f