Calcul d'aires - Bac S Métropole 2009

Exercice 2

6 points - Commun à tous les candidats

Soit la fonction définie sur l'intervalle par
.
On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. La courbe est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

Annexe 1

 
PARTIE I

1. Justifier que .

2. Justifier que pour tout nombre réel positif , le signe de est celui de .

3. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .

 
PARTIE II

Soit un nombre réel strictement positif. On pose . On se propose de majorer à l'aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode

a. Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à .

b. Justifier que pour tout nombre réel strictement positif, .

2. Deuxième méthode

a. Calculer à l'aide d'une intégration par parties en fonction de .

b. On admet que pour tout nombre réel positif .
Démontrer alors que, pour tout nombre réel strictement positif,
.

3. Application numérique
Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de , arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où ?

Corrigé

Partie I

1.
Comme
donc et la fonction étant continue pour :

2. est dérivable sur comme composée de foctions dérivables et :

strictement postif sur et si donc
Donc est du signe de .

3.On en déduit que f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

Partie II

1.

a.

est positive sur . est l'aire de la partie du plan délimité par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation et

b.Cette partie du plan est incluse dans un rectangle dont les côtés mesurent et . Son aire est donc inférieure à .

2.

a.On pose :
donc
donc

b.D'après le résultat admis dans l'énoncé :

D'après les propriétés de l'intégrale:

3.Première méthode :

Deuxième méthode :

La seconde méthode donne un majorant plus précis.