Congruences - Bac S Métropole 2009
Exercice 4
5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1.
a. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : 
.
.
b. Soit 
un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple 
de nombres entiers vérifiant 
et 
.
Montrer que le couple est solution de l'équation (E) et en déduire que 
.
un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple de nombres entiers vérifiant et .Montrer que le couple
est solution de l'équation (E) et en déduire que .
c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers supérieurs à 2 000.
supérieurs à 2 000.
2. Soit 
un nombre entier naturel.
un nombre entier naturel.
a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel 
on a : 
.
on a : .
b. Quel est le reste dans la division euclidienne de 
par 7 ?
par 7 ?
3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient
et 
deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec 
.
On considère le nombre
. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme 
.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels
ceux qui sont divisibles par 7.
Soient
et deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec .On considère le nombre
. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme .On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels
ceux qui sont divisibles par 7.
a. Vérifier que 
.
.
b. En déduire tous les nombres entiers cherchés.
cherchés.
1.
a.L'algorithme d'Euclide permet de trouver une solution de l'équation.
Ici
est une solution évidente.
Soit
une solution de (E) :
8 divise
et est premier avec 5, donc d'après le théorème de Gauss, 8 divise 
.
Posons
avec 
alors 
donc :
et 
Réciproquement on vérifie que tout couple de la forme
est solution de (E) :
L'ensemble des solutions entières de (E) est donc:
Ici
est une solution évidente.Soit
une solution de (E) :8 divise
et est premier avec 5, donc d'après le théorème de Gauss, 8 divise .Posons
avec alors donc : et Réciproquement on vérifie que tout couple de la forme
est solution de (E) :L'ensemble des solutions entières de (E) est donc:
b.Par hypothèse 
donc 
. 
est donc solution de (E)
D'après le a. on en déduit que :
donc
donc . est donc solution de (E)D'après le a. on en déduit que :
donc
c.Posons 
avec 
car 2000 est divisible par 40. Le plus petit entier positif possible est donc 9 et la plus petite valeur de est 2009
avec car 2000 est divisible par 40. Le plus petit entier positif
possible est donc 9 et la plus petite valeur de est 2009
2.
a.
donc
donc pour tout entier naturel en élevant à la puissance :
doncdonc pour tout entier naturel
en élevant à la puissance :
b.La division euclidienne de 2009 par 3 donne :
Donc
D'après la question pécédente:
Le reste de la division euclidienne de
par 7 est donc 4.
Donc
D'après la question pécédente:
Le reste de la division euclidienne de
par 7 est donc 4.
3.
a.
Donc
Donc
b.On déduit de la question précédente que
Donc
est divisible par 7 si et seulement si 
Comme
et 
: 
.
Les seules solutions possibles sont donc :
; 
; 
, ce qui donne les nombres:
7000; 8001; 9002; 1001; 2002; 3003; 4004; 5005; 6006; 7007; 8008; 9009; 1008; 2009
Réciproquement, on vérifie que chacun de ces quatorze nombres est divisible par 7.
Donc
est divisible par 7 si et seulement si Comme
et : .Les seules solutions possibles sont donc :
; ; , ce qui donne les nombres:7000; 8001; 9002; 1001; 2002; 3003; 4004; 5005; 6006; 7007; 8008; 9009; 1008; 2009
Réciproquement, on vérifie que chacun de ces quatorze nombres est divisible par 7.