Congruences - Bac S Liban 2009
Exercice 4
5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel 
dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que 
.
Partie A
1.Déterminer le reste de la division euclidienne de 
par 
.
par . 2.En déduire que 
.
.
Partie B
On considère la suite 
définie sur 
par :
et, pour tout entier naturel 
.
1.
a.Démontrer que 
est divisible par 5.
est divisible par 5. b.Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel
![u_(n+1) = u_n[u_n^4 + 5(u_n^3 + 2u_n^2 +2u_n + 1)]](/files/formules/f_1fdb7fdfcc344bbe97297f343ed394e9.gif)
c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , 
est divisible par 
.
, est divisible par .2.
a.Vérifier que 
puis en déduire que 
.
puis en déduire que .b.Démontrer alors que 
.
.
Partie C
1.En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 
est divisible par 10 000.
est divisible par 10 000. 2.Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.