Congruences - Bac S Amérique du Nord 2009
Exercice 4
5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Soit A l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle [1 ; 46].
1.On considère l'équation
(E) :
où
et 
sont des entiers relatifs.
(E) :
où
et sont des entiers relatifs.
a.Donner une solution particulière 
de (E).
de (E). b. Déterminer l'ensemble des couples 
solutions de (E).
solutions de (E). c.En déduire qu'il existe un unique entier appartenant à A tel que 
.
appartenant à A tel que .2.Soient 
et 
deux entiers relatifs.
et deux entiers relatifs.
a.Montrer que si 
alors 
ou 
.
alors ou . b.En déduire que si 
alors 
ou a 
.
alors ou a .3.
a.Montrer que pour tout entier 
de A, il existe un entier relatif 
tel que 
.
Pour la suite, on admet que pour tout entier de A, il existe un unique entier, noté 
, appartenant à A tel que
.
Par exemple :
car 
, 
car 
, 
car 
.
de A, il existe un entier relatif tel que .Pour la suite, on admet que pour tout entier
de A, il existe un unique entier, noté , appartenant à A tel que.Par exemple :
car , car , car .
b.Quels sont les entiers de A qui vérifient 
?
de A qui vérifient ?c.Montrer que 
.
. 1.
a.Une solution peut être trouvée avec l'algorithme d'Euclide. Ici, elle est évidente:
b. 
On obtient :
23 et 47 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss 47 divise
En posant
on trouve que les solutions sont de la forme :
Réciproquement, vérifiez que ces couples sont bien solutions !
On obtient :
23 et 47 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss 47 divise
En posant
on trouve que les solutions sont de la forme :Réciproquement, vérifiez que ces couples sont bien solutions !
c.
si et seulement si il existe un entier relatif tel que:
On montre à partir du b. qu'il existe une unique solution pour laquelle est compris entre 1 et 46 (on peut partir de l'encadrement 
pour trouver un encadrement de 
)
Elle correspond à
et donc 
si et seulement si il existe un entier relatif tel que:On montre à partir du b. qu'il existe une unique solution pour laquelle
est compris entre 1 et 46 (on peut partir de l'encadrement pour trouver un encadrement de )Elle correspond à
et donc
2.
a.
signifie que 47 divise ab.
On applique alors le théorème de Gauss et on arrive rapidement au résultat demandé.
signifie que 47 divise ab.On applique alors le théorème de Gauss et on arrive rapidement au résultat demandé.
b.
Il suffit alors d'appliquer les résultats de la question précédente
Il suffit alors d'appliquer les résultats de la question précédente
3.
a.Comme 
, et 47 sont premiers entre eux; on peut alors appliquer le théorème de Bézout qui mène directement au résultat recherché.
, et 47 sont premiers entre eux; on peut alors appliquer le théorème de Bézout qui mène directement au résultat recherché.
b.
On applique le résultat de 2.b. et compte tenu du fait que
on trouve
ou 
On applique le résultat de 2.b. et compte tenu du fait que
on trouve ou
c.
.
A l'exception de 1 et de 46, on peut regrouper les 44 facteurs restants en 22 paires d'entiers "inverses" l'un de l'autre dont le produit vaut 1.
On a donc:
.A l'exception de 1 et de 46, on peut regrouper les 44 facteurs restants en 22 paires d'entiers "inverses" l'un de l'autre dont le produit vaut 1.
On a donc: