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Nombres complexes et suites - Bac S Pondichéry 2009

Exercice 2

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecu, vecv). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d'affixes respectives z_A = i et z_B = 1 + 2i.

1.Justifier qu'il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O) = A et S(A)= B.
2.Montrer que l'écriture complexe de S est:
z'=(1-i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera Omega le centre de S).

On considère la suite de points (A_n) telle que:
•   A_0 est l'origine du repère et,
•   pour tout entier naturel n, A_(n+l) = S(A_n).
On note z_n, l'affixe de A_n (On a donc A_0=O, A_1=A et A_2=B).

3.
a.Démontrer que, pour tout entier naturel n, z_n = 1-(1-i)^n.
b.Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs vec(Omega A_n) et vec(A_nA_(n+1)).
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle (vec(Omega A_n),vec(A_nA_(n+1))).
c.En déduire une construction du point A_(n+1) connaissant le point A_n.
Construire les points A_3 et A_4.
4.Quels sont les points de la suite (A_n) appartenant à la droite (Omega B) ?
Corrigé
1.On sait que si A!=A' et B!=B', il existe une unique similitude directe S transformant A en A' et B en B'. Comme O!=A et A!=B, il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O) = A et S(A)= B.
2.L'écriture complexe de S est de la forme :
z'=az+b
Comme S(O) = A, z_A=a*0+b donc b=i
Comme S(A) = B, z_B=az_A+i donc 1+2i=ai+i soit :
a=(1+i)/i=1-i
L'expression complexe de S est donc :
z'=(1-i)z+i
Le rapport de la similitude S est :
R=|1-i|=sqrt(2)
L'angle de la similitude S est :
theta= arg(1-i) = arg(sqrt(2)[[(sqrt(2))/2-(sqrt(2))/2i]])
theta= arg(sqrt(2)[[cos(-pi/4)+isin(-pi/4)]])=-pi/4..[2pi]

Omega(omega) le centre de S est le point invariant de S donc :
omega=(1-i)omega+i
i omega=i
omega=1

S est donc la similitude directe de centre Omega(1), de rapport sqrt(2) et d'angle -pi/4

3.
a.Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, z_n = 1-(1-i)^n.
Initialisation
Cette propriété est vraie pour n = 0; en effet z_0 est l'affixe de O dons z_0=0 et
1-(1-i)^0=1-1=0
Hérédité
Supposons z_n = 1-(1-i)^n pour un certain entier n fixé.
z_(n+1)=(1-i)z_n+i=(1-i)[[1-(1-i)^n]]+i
z_(n+1)==(1-i)-(1-i)(1-i)^n+i=1-(1-i)^(n+1)
ce qui prouve bien l'hérédité.
Donc, pour tout entier naturel n, z_n = 1-(1-i)^n.
b.z_(vec(Omega A_n))=z_n-omega=1-(1-i)^n-1=-(1-i)^n
z_(vec(A_nA_(n+1)))=1-(1-i)^(n+1)-[[1-(1-i)^n]]=(1-i)^n-(1-i)^(n+1)
z_(vec(A_nA_(n+1)))=(1-i)^n[1-(1-i)]=i(1-i)^n.
||vec(Omega A_n)||=|-(1-i)^n|=|1-i|^n=sqrt(2)^n
||vec(A_nA_(n+1))||=|i(1-i)^n|=|1-i|^n=sqrt(2)^n
donc ||vec(Omega A_n)||= ||vec(A_nA_(n+1)||
De plus
(vec(Omega A_n), vec(A_nA_(n+1)))= arg((i(1-i)^n)/(-(1-i)^n))=arg(-i)=-pi/2..[2pi]

c.De la question précédente on déduit que :
(vec(A_n Omega), vec(A_nA_(n+1)))= pi/2..[2pi]
A_(n+1) est l'image de A_n par la rotation de centre Omega d'angle pi/2 , c'est à dire que le triangle A_n Omega A_(n+1) est rectangle isocèle en A_n de sens direct.

Bac S Pondichery 2009 spécialité
4.A_n appartient à la droite (Omega B) si et seulement si :
(vec(Omega A_n), vec(Omega B))=0 ..[pi]
c'est à dire comme B= A_2 si et seulement si :
arg(((1-i)^n)/((1-i)^2))=0..[pi]
arg((1-i)^(n-2))=0..[pi]
(n-2)*-pi/4=0..[pi]
(n-2)*pi/4=0..[pi]
(n-2)*pi/4=kpi (k in ZZ)
n-2=4k
n=4k+2
Donc (A_n) appartient à la droite (Omega B) si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 2 ( n in {2; 6; 10; 14; . . .} )
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