Nombres complexes et suites - Bac S Métropole 2008
Exercice 4 (5 points)
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct 
.
Soient A et B les points d'affixes respectives 
et 
.
1.On considère la droite 
d'équation 
.
Démontrer que l'ensemble des points de dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points 
lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.
d'équation .Démontrer que l'ensemble des points de
dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.2.Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en 
(-2 , 3).
(-2 , 3).3.Soit 
la transformation du plan qui à tout point M d'affixe 
associe le point M' d'affixe 
.
Déterminer l'image de A par, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de .
la transformation du plan qui à tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe .Déterminer l'image de A par
, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de .4.On note 
l'image de B par et pour tout entier naturel n non nul, 
l'image de 
par .
l'image de B par et pour tout entier naturel n non nul, l'image de par .
a.Déterminer la longueur 
en fontion de 
.
en fontion de .b.A partir de quel entier n le point appartient t-il au disque de centre A et de rayon 
?
appartient t-il au disque de centre A et de rayon ?c.Déterminer l'ensemble des entiers n pour lesquels A, , sont alignés.
, sont alignés.1. 
, donc le point de coordonnées (1 ; -1) appartient à la droite
Soit M(x,y) un point de à coordonnées entières.
4 et 3 étant premiers entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que x-1 est un multiple de 3, c'est à dire qu'il existe
tel que 
c'est à dire 
.
On a alors
soit 
Réciproquement comme :
tout point de coordonnées
avec est un point de à coordonnées entières.
, donc le point de coordonnées (1 ; -1) appartient à la droite Soit M(x,y) un point de
à coordonnées entières.4 et 3 étant premiers entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que x-1 est un multiple de 3, c'est à dire qu'il existe
tel que c'est à dire .On a alors
soit Réciproquement comme :
tout point de coordonnées
avec est un point de à coordonnées entières.
2. Le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en est :
or
donc
L'angle de cette similitude est :
2...(2pi)" />
est :or
donc
L'angle de cette similitude est :
2...(2pi)" />
3. L'image de A par est le point A' d'affixe
Donc A est le centre de la similitude directe.
Le rapport de est 
L'angle de est 
est le point A' d'affixeDonc A est le centre de la similitude directe
.Le rapport de
est L'angle de
est
4.
a.
La similitude s transforme
en . Son centre est A et son rapport 
donc :
c'est à dire:
La similitude s transforme
en . Son centre est A et son rapport donc :c'est à dire:
b. La suite 
est une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme
donc:
est donc inférieur à si et seulement si :
c'est à dire :
La fonction ln étant croissante cette inégalité équivaut à :
soit comme
est négatif :
Le point B_n appartient au disque de centre A et de rayon 10^(-2) à partir de n=17.
est une suite géométrique de raison 2/3 et de premier termedonc:
est donc inférieur à si et seulement si :c'est à dire :
La fonction ln étant croissante cette inégalité équivaut à :
soit comme
est négatif :Le point B_n appartient au disque de centre A et de rayon 10^(-2) à partir de n=17.
c. Pour tout entier 
B_(n+1) est l'image de B_n par la similitude de centre A et d'angle 
donc :
Donc :
Les points A, B_1 et B_n sont alignés si et seulement si cet angle est un multiple de
c'est à dire si et seulement si n-1 est pair donc si et seulement si n est impair.
B_(n+1) est l'image de B_n par la similitude de centre A et d'angle donc :Donc :
Les points A, B_1 et B_n sont alignés si et seulement si cet angle est un multiple de
c'est à dire si et seulement si n-1 est pair donc si et seulement si n est impair.
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