Nombres complexes et similitudes - Bac S - Pondichéry 2008

Exercice 2

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :
Une application du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si admet une écriture complexe de la forme , où et .

Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives , , , .

1.

a.Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes , , et .

b.Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

c.Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2.On considère la similitude directe dont l'écriture complexe est .

a.Déterminer les éléments caractéristiques de .

b.Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par des points A, C et O.

c.Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.