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Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2009

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecu, vecv).

Soit A le point d'affixe a = 1 + isqrt(3) et B le point d'affixe b = 1 - sqrt(3) + (1 + sqrt(3))i.

Partie A : étude d'un cas particulier

On considère la rotation r de centre O et d'angle (2pi)/3.

On note C le point d'affixe c image du point A par la rotation r et D le point d'affixe d image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-dessous :

Bac S Amérique du Nord 2009 fig1
(figure 1)
1.

a.Exprimer (- a)/(b - a) sous forme algébrique.
b.En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.
2.Démontrer que c = -2. On admet que d = -2 - 2i.
3.

a.Montrer que la droite (AC) a pour équation y = (sqrt(3))/(3)(x+ 2).
b.Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soit theta un réel appartenant à l'intervalle ]0; 2pi[. On considère la rotation r de centre O et d'angle theta.

On note A' le point d'affixe a', image du point A par la rotation r, et B' le point d'affixe b', image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-dessous :

Bac S Amérique du Nord 2009 fig2
(figure 2)

L'objectif est de démontrer que la droite (AA') coupe le segment [BB'] en son milieu.

1.Exprimer a' en fonction de a et theta et b' en fonction de b et theta.
2.Soit P le point d'affixe p milieu de [AA'] et Q le point d'affixe q milieu de [BB'].

a.Exprimer p en fonction de a et theta puis q en fonction de b et theta.
b.Démontrer que (-p)/(q - p) = (- a)/(b - a).
c.En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
d.Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA').
Corrigé
Partie A : étude d'un cas particulier

1.

a.Après calcul on trouve :
(- a)/(b - a)=i
b.On déduit de la question 1.a. :
0-a=i(b-a)=e^(ipi/2)(b-a)
ce qui prouve que O est l'image de B dans la rotation de centre A d'angle pi/2
2."Simple" calcul
3.

a.On peut (par exemple) appliquer la formule
y = (y_C-y_A)/(x_C-x_A)(x-x_A) + y_A
b.L'affixe du milieu I de [BD] est :
z_I=(-1-sqrt(3))/2+(-1+sqrt(3))/2i
Il suffit ensuite de vérifier que le couple (x_I=(-1-sqrt(3))/2; y_I=(-1+sqrt(3))/2) est solution de l'équation trouvée au a.

Partie B : étude du cas général

1.a'=e^(itheta)a
b'=e^(itheta)b
2.

a.p=(a+a')/2=a((1 +e^(itheta))/2)
q=(b+b')/2=b((1 +e^(itheta))/2)
b.Le résultat demandé s'obtient par calcul après simplification par (1 +e^(itheta))/2
c.D'après les questions précédentes:
0-p=i(q-p)=e^(ipi/2)(q-p)
ce qui prouve que O est l'image de Q dans la rotation de centre P d'angle pi/2
d.On montre facilement que (OP) est la médiatrice de [AA']
D'après 2.c. Q est sur la perpendiculaire à (OP) passant par P donc Q in (AA')

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