Nombres complexes et géométrie - Bac S Métropole 2008
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct 
(unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 - i et 2.
A tout point M d'affixe 
, on associe le point M' d'affixe 
telle que 
. Le point M' est appelé l'image de M.
1.Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.
2.Calculer les affixes des points A' et B', images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
3.Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe -5.
4.
a.Vérifier que pour tout nombre complexe , on a : 
.
, on a : .b.En déduire une relation entre 
et 
et, lorsque est différent de 2, une relation entre 
et 
.
et et, lorsque est différent de 2, une relation entre et .c.Que peut-on dire du point M' lorsque M décrit le cercle 
de centre I et de rayon 2 ?
de centre I et de rayon 2 ?5.Soient E le point d'affixe 
, J le point d'affixe -4 et E' l'image de E.
, J le point d'affixe -4 et E' l'image de E.
a.Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle 
.
.b.Calculer la distance JE' et une mesure en radians de l'angle 
.
.c.Construire à la règle et au compas le point E' ; on laissera apparents les traits de construction.
1.(voir en fin de corrigé)
2. L'affixe de A' est :
L'affixe de B' est :
Les points A' et B' ont sont confondus
L'affixe de B' est :
Les points A' et B' ont sont confondus
3. M d'affixe z a pour image M' d'affixe -5 si et seulement si :
soit :
(1)
Le discriminant vaut
L'équation (1) a deux solutions complexes:
Le point d'affixe -5 a pour antécédents les points
et 
.
soit :
(1)Le discriminant vaut
L'équation (1) a deux solutions complexes:
Le point d'affixe -5 a pour antécédents les points
et .
4.
a. 
b. On en déduit :
pour 
c. Si M appartient au cercle (C), 
donc 
et 
.
M' appartient donc au cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4.
Réciproquement si M' appartient donc au cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4
donc et M appartient au cercle (C).
Lorsque M décrit le cercle (C), M' décrit le cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4.
donc et .M' appartient donc au cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4.
Réciproquement si M' appartient donc au cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4
donc et M appartient au cercle (C).Lorsque M décrit le cercle (C), M' décrit le cercle (C') de centre J d'affixe -4 et de rayon 4.
5.
a. 
Donc :
Donc :
b.
c. E' est sur le cercle (C') et 
ce qui permet de construire le point E' :
figure 1
ce qui permet de construire le point E' :
figure 1