Nombres complexes et géométrie - Bac S - Amérique du Nord 2008
Exercice 1
(5 points) - Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
; unité graphique : 4 cm.
On considère le point A d'affixe 
et le cercle 
de centre A et de rayon 
.
1.Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
2.
a.Déterminer les affixes des points d'intersection de et de l'axe 
.
et de l'axe .b.On désigne par B et C les points d'affixes respectives 
et 
.
Déterminer l'affixe
du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle .
et .Déterminer l'affixe
du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle .3.Soit M le point d'affixe 
.
.
a.Calculer le nombre complexe 
.
.b.Interpréter géométriquement un argument du nombre ; en déduire que le point M appartient au cercle .
; en déduire que le point M appartient au cercle . 4.On note 
le cercle de diamètre [AB].
La droite (BM) recoupe le cercle en un point N.
le cercle de diamètre [AB].La droite (BM) recoupe le cercle
en un point N.
a.Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
b.Déterminer l'affixe du point N.
5.On désigne par M' l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle 
.
.
a.Déterminer l'affixe du point M'.
b.Montrer que le point M' appartient au cercle .
.1.
2.
a. L'équation de est :
Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points d'ordonnée nulle et dont l'abscisse vérifie:
donc
et 
Les affixes des points d'intersections B et C sont donc
et .
est :Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points d'ordonnée nulle et dont l'abscisse vérifie:
donc
et Les affixes des points d'intersections B et C sont donc
et .
b. A est le milieu de [BD] donc
d'où
d'où
3.
a.
b. Un argument du nombre 
est une mesure de l'angle 
; donc :
Le triangle MBD est rectangle en B donc M appartient au cercle de diamètre [BD], c'est à dire à
.
est une mesure de l'angle ; donc :Le triangle MBD est rectangle en B donc M appartient au cercle de diamètre [BD], c'est à dire à
.
4.
a. N appartient au cercle de diamètre [AB] donc les droites (AN) et (NB) sont perpendiculaires. (DM) et (AN) sont toutes deux perpendiculaires à (NB) donc sont parallèles.
b. D'après le théorème des milieux dans les triangles BMD et BNA, N est le milieu de [MB] donc
5.
a. 
Donc:
Donc:
b. 
Donc d'après une démonstration analogue à celle du 3.b. M' appartient au cercle de diamètre [AB], c'est à dire à
.
Donc d'après une démonstration analogue à celle du 3.b. M' appartient au cercle de diamètre [AB], c'est à dire à
.