Nombres complexes - Bac S Métropole 2009

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on associe à tout point M d'affixe non nulle, le point M' milieu du segment où est le point d'affixe .
Le point M' est appelé l'image du point M.

1.

a. Montrer que les distances et vérifient la relation et que les angles et vérifient l'égalité des mesures suivantes
à près.

b. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

Annexe 2

2.

a. Justifier que pour tout nombre complexe non nul, le point M' a pour affixe .

b. Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

3. Déterminer l'ensemble des points M tels que .

Corrigé

1.

a. et donc :

De plus :


donc :
.

b.Le point est le point du cercle de centre O et de rayon tel que les demi-droites [OA) et [OA1) soient symétriques par rapport à l'axe des abscisses. A' est le milieu de [AA1]

2.

a.

b.

c.

3. si et seulement si :




ou
L''ensemble des points tels que est l'ensemble formé des points et d'affixes respectives -1 et 1.

4.Soit d'affixe un point du cercle de centre O et de rayon 1. On a:

est un réel compris entre -1 et 1 donc appartient bien au segment .