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Nombres complexes - Lieux géométriques - Bac S Pondichéry 2009

Exercice 2

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecu ,vecv). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a = 3 - i, b = 1 - 3i et c = -1 - i.

1.
a.Placer ces points sur une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
b.Quelle est la nature du triangle ABC ?
c.Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle Gamma de centre O, dont on calculera le rayon.
2.Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée m et N le point d'affixe notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure (pi)/2.

a.Donner l'écriture complexe de la rotation r.
b.En déduire une expression de n en fonction de m.
3.On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe.
Montrer que : q=((1-i)m)/2+2+i.
4.Dans cette question, M est un point du cercle Gamma.

a.Justifier l'existence d'un réel theta tel que : m=sqrt(10)e^(itheta).
b.Calculer |q -2 -i|. Quel est le lieu Gamma' de Q lorsque M décrit le cercle Gamma ?
Corrigé

Exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecu ,vecv). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a = 3 - i, b = 1 - 3i et c = -1 - i.

1.
a.Voir la figure terminée en bas du corrigé
b.Le triangle ABC est rectangle isocèle en B. En effet :
BA=|a-b|=|2+2i|=sqrt(4+4)=2sqrt(2)
BC=|c-b|=|-2+2i|=sqrt(4+4)=2sqrt(2)
AC=|c-a|=|-4|=4
Donc BA=BC et AC²=BA²+BC²=16 et le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
c.
OA=|a|=sqrt(10)
OB=|b|= sqrt(10)
Donc les points A et B appartiennent au cercle Gamma de centre O, de rayon sqrt(10).
2.Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée m et N le point d'affixe notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure (pi)/2.

a.L'écriture complexe de r est donnée par la formule :
z'=e^(itheta)(z-omega)+omega
ce qui devient ici :
z'=e^(i(pi)/2)(z-m)+m
z'=iz+m-mi
b.Comme N est image de A dans la rotation r :
n=i(3-i)+m-mi=1+m+3i-mi
3.Q est le milieu du segment [AN] donc :
q = 1/2(a+n)=1/2(3-i+1+m+3i-mi)=((1-i)m)/2+2+i
4.
a.Si M est un point du cercle Gamma, son module est OM=sqrt(10) d'après 1. c..
Si on note theta son argument, on a bien : m=sqrt(10)e^(itheta).
b.|q -2 -i|=|((1-i)m)/2|=(sqrt(2))/2|m|.
Donc :
|m|=sqrt(10) <=> |q -2 -i| = (sqrt(2))/2 * sqrt(10) = sqrt(5)
Donc Q est sur le cercle de Gamma' de centre Omega(2+i) et de rayon sqrt(5).
Réciproquement, soit Q un point de Gamma' ; son affixe vérifie |q-2-i|=sqrt(5)
Q est l'image (par la construction de l'énoncé) du point M d'affixe m = (2(q-2-i))/(1-i) (obtenu à partir de la relation q = (1-i)m/2+2+i)) qui est bien sur le cercle Gamma puisque |q-2-i|=sqrt(5) => |m| = sqrt(10). Donc tout point de Gamma' est l'image d'un point M de Gamma.
Le lieu de Q lorsque M décrit le cercle Gamma est donc le cercle Gamma' de centre Omega(2+i) et de rayon sqrt(5).
Corrigé Bac S Pondichery 2009 exercice 2
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