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Bac S Amérique du Nord 2011 - Nombres complexes et rotations

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,vecu,vecv).

On considère les points A et B d'affixes respectives : a = `i` et b = 1 + `i`.

On note : r_(`A`) la rotation de centre A, d'angle (pi)/(2), r_(`B`) la rotation de centre B, d'angle (pi)/(2) et r_(`O`) la rotation de centre O, d'angle - (pi)/(2).

Partie A

On considère le point C d'affixe c = 3`i`. On appelle D l'image de C par r_(`A`), G l'image de D par r_(`B`) et H l'image de C par r_(`O`).

On note d, g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d = -2+ `i`.
2. Déterminer g et h.
3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un point M, distinct de O et de A, d'affixe m. On appelle N l'image de M par r_(`A`), P l'image de N par r_(`B`) et Q l'image de M par r_(`O`).

On note n, p et q les affixes respectives des points N, P et Q.

1. Montrer que n = `i`m + 1 + `i`. On admettra que p = -m + 1+`i` et q = -`i`m.
2. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
3.

a. Montrer l'égalité : (m - n)/(p - n) = `i` + (1)/(m).
b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Déterminer l'ensemble (Gamma) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

Corrigé
Partie A
1. L'écriture complexe de la rotation r_A est :
z'-i=e^(ipi/2)(z-i)
C'est-à-dire :
z'=i+i(z-i)=iz+1+i
D est l'image de C par la rotation r_A donc :
d=i(3i)+1+i=-2+i
2. De même, l'écriture complexe de la rotation r_B est :
z'-(1+i)=e^(ipi/2)(z-1-i)
Soit :
z'=1+i+i(z-1-i)=iz+2
Donc :
g=i(-2+i)+2=1-2i
Enfin, l'écriture complexe de la rotation r_O est :
z'=e^(-ipi/2)z=-iz
Donc :
h=-i(3i)=3
3. L'affixe de vec(CD) est :
d-c=-2+i-3i=-2-2i
L'affixe de vec(HG) est :
g-h=1-2i-3=-2-2i
Donc vec(CD)=vec(HG) et CDGH est un parallélogramme.
Par ailleurs :
CG=|g-c|=|(1-2i)-3i|=|1-5i|=sqrt(26)
DH=|h-d|=|3-(-2+i)|=|5-i|=sqrt(26)
Le parallélogramme CDGH a ses diagonales de même longueur ; c'est donc un rectangle.
Partie B
1. N est l'image de M par la rotation r_O donc d'après la partie A :
n=im+1+i
2. Le vecteur vec(MN) a pour affixe :
n-m=im+1+i-m=1-m+i(1+m)
De même le vecteur vec(QP) a pour affixe :
p-q=-m+1+i-(-im)=1-m+i(1+m)
Donc vec(MN)=vec(QP) donc MNQP est un parallélogramme.
3.

a. (m-n)/(p-n)=(m-(im+1+i))/(-m+1+i-(im+1+i))=(m(1-i)+1+i)/(m(-i-1))
On multiplie le numérateur et le dénominateur par i-1 (conjugué de -i-1) :
(m-n)/(p-n)=([m(1-i)+1+i](i-1))/(m(-i-1)(i-1))=(2mi+2)/(2m)=i+1/m
b. MNPQ est un rectangle si et seulement si l'angle (vec(NP),vec(NM)) est un angle droit c'est-à-dire si et seulement si (m-n)/(p-n) est un imaginaire pur.
Comme (m-n)/(p-n) est égal à i+1/m cette condition équivaut à 1/m donc m est un imaginaire pur (avec, de plus, d'après l'énoncé m!=0 et m!=i car M est distinct de O et de A).
L'ensemble (Gamma) cherché est donc l'axe des ordonnées privé des points O et A.
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