Matrice de transition et Suites

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

• si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
• si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

2.En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
M =
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne (70 ﾠ 120).
En donner une interprétation.

Deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle X_(n) (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année 2000 + n. On a donc X_(0) = 60.

On admet que pour tout entier naturel n, X_(n+1) = 0,05X_(n) + 66,5.

On considère la suite définie pour tout entier naturel n par = X_(n) - 70.

1.Prouver que la suite est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.