Probabilités - Matrice de transition - Bac ES Centres étrangers 2009
Exercice 2
5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :
. 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.
. 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.
On note, pour tout entier naturel 
;
. 
, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois soit favorable à ce groupe politique.
, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois soit favorable à ce groupe politique. . 
, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.
, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois ne soit pas favorable à ce groupe politique. . 
, la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de mois.
, la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de mois. On note 
la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel : 
.
Première partie
1. Déterminer la matrice 
donnant l'état probabiliste initial.
donnant l'état probabiliste initial. 2. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.
3. On admet que 
.
Déterminer la matrice
en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).
.Déterminer la matrice
en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).4. Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
Deuxième partie
1. Montrer que 
pour tout entier naturel .
pour tout entier naturel .2. On considère la suite 
telle que 
pour tout entier naturel .
telle que pour tout entier naturel . 3. Démontrer que la suite est géométrique de raison 
.
est géométrique de raison . 4. En déduire que 
pour tout entier naturel .
pour tout entier naturel . 5. Calculer la limite de quand tend vers 
. Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.
quand tend vers . Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.