Lecture graphique - Logarithme - Bac ES Métropole 2009

Exercice 2

5 points - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [- 2; 5], décroissante sur chacun des intervalles [-2;0] et [2; 5] et croissante sur l'intervalle [0;2].

On note sa fonction dérivée sur l'intervalle [- 2; 5].

La courbe représentative de la fonction est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A(- 2; 9), B(0; 4), C(1;4,5), D(2;5) et E(4; 0).

En chacun des points B et D. la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.

On note F le point de coordonnées (3;6).

La droite (CF) est la tangente à la courbe au point C.

1. À l'aide des informations précédentes et de l'annexe 1, préciser sans justifier :

a. les valeurs de , et .

b. le signe de suivant les valeurs du nombre réel de l'intervalle .

c. le signe de suivant les valeurs du nombre réel de l'intervalle .

2. On considère la fonction définie par où désigne la fonction logarithme népérien.

a. Expliquer pourquoi la fonction est définie sur l'intervalle .

b. Calculer et .

c. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction sur l'intervalle .

d. Déterminer la limite de la fonction lorsque tend vers 4.

Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction .

e. Dresser le tableau de variations de la fonction .

Corrigé

1.

a.

b.

c.

2.

a. est définie si et seulement si donc si et seulement si

b.

c.Sur [-2; 4[, par dérivation de fonctions composées:

La fonction étant positive sur [-2; 4[ est du signe de
est donc strictement croissante sur [0; 2] et strictement décroissante sur [-2; 0] et sur [2;4[

d.Lorsque x tend vers 4 (par valeurs inférieures) tend vers 0 par valeurs supérieures.
D'après le théorème de composition des limites pour les fonctions continues:

e.