Lecture graphique - Etude de fonction - Bac ES Pondichéry 2009

Exercice 3

10 points - Commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A. Lectures graphiques

La courbe ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction définie et dérivable sur .
On note la fonction dérivée de
La courbe passe par les points et .
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point .

Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.

2.Par lectures graphiques:

a.Déterminer et .

b.Dresser le tableau de signes de sur .

c.Dresser le tableau de signes de sur .

d.Soit une primitive de sur . Déterminer les variations de sur .

e.Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et .

Partie B. Étude de la fonction

La courbe de la partie A est la représentation graphique de la fonction définie sur par .

1.

a. Déterminer la limite de en .

b.Soit la fonction définie sur par . On rappelle que .
Déterminer la limite de en 0

.

2.

a.Montrer que, pour tout de , on a : .

b.Étudier le signe de sur et en déduire le tableau de variation de sur .

3.

a.Démontrer que la fonction définie sur par est une primitive sur de la fonction définie à la question 1.b).

b.En déduire une primitive de et calculer .

c.En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équation et . On arrondira le résultat au dixième.

Corrigé

Partie A.

1.Le coefficient directeur de la droite est :

L'équation réduite de la droite est donc de la forme
Les coordonnées de vérifient cette équation donc :

L'équation réduite de la droite est donc :

2.Par lectures graphiques:

a.
(tangente parallèle à l'axe des abscisses)

b.La courbe est au-dessous de l'axe des abscisses sur et au dessus sur donc :

c. est décroissante sur et croissante sur donc :

d. est une primitive de donc . D'après la question 1.b., on obtient le tableau de variations suivant: :

e.L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et est comprise entre 2 et 3 (il suffit de compter les carreaux!).

Partie B.

1.

a.

donc en effectuant le produit des limites :

b.


donc en effectuant la différence des limites :

.

2.

a.Sur , est de la forme avec et donc :

b.La fonction logarithme népérien est strictement négative sur et strictement positive sur .

Le tableau de variations de sur est donc :

3.

a.En employant la formule pour dériver le premier terme on obtient :


Donc est une primitive de sur

b.Comme , une primitive de est définie par :

Donc :

c.Sur la fonction est strictement négative donc l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est :

La valeur arrondie de au dixième près est 1,1 unités d'aire.