Fonction et application économique - Bac ES Métropole 2009

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0,5; 8] par

On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8]

1.

a. Démontrer que pour tout nombre réel de l'intervalle [0,5; 8]

b. Étudier le signe de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction .

2. Construire la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; veci, vecj).

On prendra pour unités graphiques 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm, sur l'axe des ordonnées.

3. Justifier que la fonction définie sur l'intervalle [0,5; 8] par est une primitive de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8].

4. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .

Partie B : Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.

La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.

Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction de la partie A de la façon suivante :

si, un mois donné, on produit centaines de bicyclettes, alors modélise le bénéfice, exprimé en milliers d' euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.

Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

Corrigé

Partie A

1.

a. est le produit de deux fonctions dérivables sur [0,5; 8] :




On a donc :

b. sur [0,5; 8] donc est du signe de
On obtient le tableau de variation suivant :

2.

3. est le quotient de deux fonctions u et v dérivables sur [0,5; 8] (et v est non nulle sur [0,5; 8])




Donc :




Donc est une primitive de sur [0,5; 8].

4.

Partie B

1.

a.
Le bénéfice réalisé par la production de 220 bicyclettes est 7 989€

b.
Le bénéfice réalisé par la production de 408 bicyclettes est 8 010€

2.

a.L'entreprise fait des bénéfices si et seulement si .
Or sur [0,5; 8] donc est du signe de et
L'entreprise doit produire au moins 100 bicyclettes par mois pour réaliser des bénéfices.

b. D'après la partie A, la fonction atteint son maximum pour
L'entreprise doit donc produire 300 bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de €

c. On sait d'après la question 1. que et .
On vérifie à la calculatrice que et

Graphiquement ou d'après le tableau de variation de on en déduit que l'entreprise doit produire entre 221 et 408 bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000€