Etude de fonctions - Bac ES Amérique du Nord 2009

Exercice 4

7 points - Commun à tous candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis.

Préliminaires

On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous.

Soit la fonction définie sur par
.
On désigne par la fonction dérivée de .

1.Calculer .

2.En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle . On ne demande pas les limites dans cette question.

3.En déduire que pour tout .

 
Partie A

Soit la fonction définie sur l'intervalle par

1.Déterminer les limites de en et en .

2.On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

a.Montrer que, pour tout , .

b.En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .

 
Partie B

1.On définit la fonction sur I'intervalle par
.
Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .

2.On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de notée .
On a colorié le domaine limité par , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.