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Calcul de rentabilité - Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 4

(6 points) - Commun à tous les candidats

Rappel : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u est dérivable sur I et
(e^u)' = u' e^u.

Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial t = 0), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d'euros.

Partie A
Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, à l'instant t, mesurée en années, estnotée D(t).
On pose D(t) = 200(1 - e^(-0,086 t)) pour tout réel t de l'intervalle I = [0 ; 13].

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de D dans le plan rapporté à un repère (O; veci, vecj).

courbe représentative de D

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).

Partie B
Le transporteur veut vendre l'autocar. On note V(t) la valeur de l'autocar l'année t, 0 < t < 13.

1.Vérifier que V(t) = 200 * e^(-0,086 t).
2.Etudier le sens de variation de V sur [0 ; 13].
3.Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de 13 ans de service ? (au millier d'euros près).
4.Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

Partie C
On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant t réel de l'intervalle [0 ; 13] par :
R(t) = 110(5 + t - 5e^(0,1t)).

1.

a.Calculer la dérivée R' de la fonction R ; étudier son signe sur [0 ; 13] et construire le tableau de variation de R.
b.En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur t_0 de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près.
c.Construire la courbe représentative de la fonction R, dans le même repère que celle de D après avoir complété le tableau de valeurs ci-dessous où l'on arrondira R(t) à l'entier le plus proche.

t 0 1 2 4 6 8 10 11 13
D(t) 0 16 32 58 81 99 115 122 135
R(t) 0 52 98   208       -38
E(t) 0       127        
2.A tout instant, la différence R(t) - D(t) représente l'exploitation E(t) de l'autocar.
Compléter le tableau ci dessus, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de D, R et E pour répondre aux questions suivantes :

a.Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ?
b.A partir de quelle année l'exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit ?
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