Surface et arithmétique - Bac S - Amérique du Nord 2008
Exercice 2
(5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est rapporté au repère orthonormal 
.
On nomme (S) la surface d'équation 
.
1.Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan 
.
.2.On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; -3) et (-1 ; 1 ; 1).
a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
b.Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
3.Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan .
.4.
a.On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation 
. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.b.M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.
On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b) = 440, c'est-à-dire tel que (a , b) soit solution du système
(1) :
Montrer que si (a , b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.
Conclure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.