Bac S Pondichéry 2011 - Sections de surfaces

Exercice 2

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère, dans un repère de l'espace, la surface (S) d'équation :

1.On note (E1) l'intersection de (S) avec le plan (P1) d'équation .
Déterminer la nature de (E1).

2.On note (E2) l'intersection de (S) avec le plan (P2) d'équation . Déterminer la nature de (E1).

On considère, dans un repère de l'espace, la surface (S') d'équation :
.

1.On note (E3) l'intersection de (S') avec le plan (P1) d'équation .
Déterminer la nature de (E3)

2.On note (E4) l'intersection de (S') avec le plan (P3) d'équation .
Déterminer la nature de (E4).

On note (E5) l'intersection de (S) et de (S').
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à (E5) dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).
On suppose qu'il existe un point M appartenant à (E5) et dont les coordonnées , et sont des entiers naturels.

1.Montrer que si , alors le point M est le point O.

2.On suppose dorénavant que l'entier n'est pas nul.

a.Montrer que les entiers , et vérifient .
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels et premiers entre eux tels que .

b.Montrer que divise , puis que divise .

c.Établir que vérifie la relation .

d.Conclure.