Produit scalaire dans l'espace - Bac S - Amérique du Nord 2008

Exercice 2

(5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1.Démontrer que, pour tout point M de l'espace,

2.En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace tels que

Partie B
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal , les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0), C(0 ; 0 ; 4) et D(-5 ; 0 ; 1).

1.

a.Vérifier que le vecteur est normal au plan (ABC).

b.Déterminer une équation du plan (ABC).

2.

a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite , orthogonale au plan (ABC) passant par D.

b.En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c.Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d.Démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E) défini dans la partie A.