Orthogonalité dans l'espace - Bac S - Pondichéry 2008
Exercice 3
(4 points) - Commun à tous les candidats
On considère un tétraèdre ABCD.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D.
Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).
? En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].Comment démontrerait-on que
est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?Or I est le milieu de [AB] donc le barycentre de (A;1),(B;1) et J est le milieu de [CD] donc le barycentre de (C;1),(D;1)
D'après la propriété d'associativité du barycentre G est le barycentre de (I;2), (J;2) donc G est le milieu de [IJ] et il appartient donc à la droite (IJ).
On montre de même (en associant A avec C et B avec D puis A avec D et B avec C) que G est le milieu de [KL] et [MN] et par conséquent appartient à (KL) et à (MN)
Conclusion
Les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.
D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC, IK =
AC. De même, d'après le théorème des milieux dans le triangle BCD, JK = BD. Comme AC=BD, IK=JK donc le parallélogramme IKJL, qui a deux côtés consécutifs égaux, est un losange.La démonstration est similaire pour les quadrilatères IMJN et KNLM.
Conclusion
Les quadrilatères IKJL, IMJN et KNLM sont des losanges
Conclusion
Les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales.
(IJ) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (MKN). Par conséquent :
Conclusion
La droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN)
Conclusion
D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :
donc :
Conclusion
La droite (IJ) est orthogonale à la droite (AB).
De même (IJ) est orthogonale à toute droite de (MKN) en particulier à (ML) donc :
D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :
donc :
Conclusion
La droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
Or G appartient à (IJ) donc :
Conclusion
G appartient au plan médiateur de [AB].
De même, la droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD) et passe par le point J . Donc, elle appartient au plan orthogonal à (CD) passant par J. Comme J est le milieu de [CD], ce plan est le plan médiateur du segment [CD]. Donc :
Conclusion
G appartient au plan médiateur de [CD].
Or G appartient au plan médiateur de [AB] donc GA=GB.
Et G appartient au plan médiateur de [CD] donc GC=GD.
Conclusion
Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD il suffira de montrer (par exemple) que GB =GC, c'est à dire que G appartient au plan médiateur de [BC].
La démonstration serait similaire à la précédente en remplaçant (IJ) par (KL) et (MNK) par (MNJ)
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