Bac S Pondichéry 2011 - Médianes d'un tétraèdre
Exercice 2
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie 1
Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
A' est le centre de gravité du triangle BCD.
Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA'] est une médiane du tétraèdre ABCD.
1.On souhaite démontrer la propriété suivante :
P1 : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.
P1 : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.
a.Montrer que 
et que 
.
(On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
et que .(On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
b.En déduire que la médiane (AA') est orthogonale à la face BCD.
Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.
Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.
2.G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.
On souhaite démontrer la propriété suivante :
P2 : Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en G.
En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA'), puis conclure.
On souhaite démontrer la propriété suivante :
P2 : Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en G.
En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA'), puis conclure.
Partie II
On munit l'espace d'un repère orthonormal 
.
On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; - 1) et R(-2 ; 3 ; 0).
1.Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
2.Calculer les coordonnées de P', centre de gravité du triangle OQR.
3.Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : 
.
.4.La propriété P1 de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?
Partie I
1.
a. Soit I le milieu du segment [BD]. La droite (CI) est une médiane et donc une hauteur du triangle équilatéral BCD. Comme le point A' appartient à cette hauteur, 
.
De même (AI) est une hauteur du triangle ABD donc
.
D'après la relation de Chasles :
On démontre de la même manière que
.
.De même (AI) est une hauteur du triangle ABD donc
.D'après la relation de Chasles :
On démontre de la même manière que
.b. La médiane (AA') est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) donc elle est orthogonale au plan (BCD).
2. G est la barycentre du système {(A;1),(B;1),(C;1),(D;1)} donc d'après l'associativité du barycentre, G est le barycentre de {(A;1),(A';3)} donc G appartient à la médiane (AA').
La démonstration est analogue pour les autres médianes.
Donc les médianes du tétraèdre ABCD sont concourantes en G.
La démonstration est analogue pour les autres médianes.
Donc les médianes du tétraèdre ABCD sont concourantes en G.
Partie II
1. 
donc le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
donc le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
2. 
3. Les coordonnées de O, Q, R vérifient l'équation 
.
En effet :
Donc est bien une équation du plan (OQR).
.En effet :
Donc
est bien une équation du plan (OQR).
4.La propriété P1 n'est pas vraie dans ce tétraèdre car la droite (PP') n'est pas orthogonale au plan (OQR). En effet, le vecteur 
a pour coordonnées 
c'est-à-dire 
. Or, un vecteur normal au plan (OQR) est 
. Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur .
a pour coordonnées c'est-à-dire . Or, un vecteur normal au plan (OQR) est . Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur .