Fonction de deux variables - Bac ES Liban 2009

Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l'entretien des jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de heures.
La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée en centaines de m², est donnée par la fonction où et sont exprimés en heures.

Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûté 30 euros.
Les contraintes matérielles imposent que et .

figure 1

La figure 1 donnée en annexe représente la surface d'équation .

figure 2

La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface sur le plan , les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10.

1.

a.Les points et sont des points de la surface . Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.

b.Lire sur la figure 1 les coordonnées du point et en donner une interprétation concrète.

c.Placer sur la figure 1 le point de coordonnées .

d.Donner la nature de la courbe de niveau .

2.Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2 400 euros.

a.Démontrer que x et y sont liés par la relation .

b.Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient ?

c.Représenter l'ensemble sur la figure 2 de l'annexe.

d.En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros.

3.

a.Vérifier que, sous la contrainte , peut s'écrire sous la forme , étant la fonction définie sur [0 ; 120] par .

b.Démontrer que sur ]0 ; 120] , désignant la fonction dérivée de , puis démontrer que la fonction g admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 120].

c.En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaires qui permettent de traiter une surface maximum.