Equations de plans - Bac S Métropole 2008
Exercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal 
, on considère les points
, 
et 
.
1.
a.Démontrer que les points 
, 
et 
ne sont pas alignés.
, et ne sont pas alignés.b.Démontrer que le plan 
a pour équation cartésienne 
.
a pour équation cartésienne .2.On considère les plans 
et 
d'équations respectives 
et 
.
Démontrer que l'intersection des plans et est une droite 
, dont une représentation paramétrique est :
avec 
et d'équations respectives et .Démontrer que l'intersection des plans
et est une droite , dont une représentation paramétrique est : avec 3.Quelle est l'intersection des trois plans , et ?
, et ?4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point à la droite .
Déterminer la distance du point
à la droite .1.
a. 
Les vecteurs
et 
n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les vecteurs
et n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation 
. En effet :
pour A :
pour B :
pour C :
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne.
. En effet :pour A :
pour B :
pour C :
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne
.
2. M de coordonnées 
appartient à 
si et seulement si :
On pose
et on résout le système.
appartient à si et seulement si :On pose
et on résout le système.
3. Pour trouver l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout le système :
D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :
L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées
.
D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :
L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées
.
4. Soit M un point de (D). Ses coordonnées 
sont de la forme :
La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
est un polynôme du second degré en 
qui atteint son minimum pour 
Ce minimum vaut alors :
La distance de A à (D) est donc :
sont de la forme :La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
est un polynôme du second degré en qui atteint son minimum pour Ce minimum vaut alors :
La distance de A à (D) est donc :