Cube - Barycentres - Bac S Amérique du Nord 2009
Exercice 3
5 points - Commun à tous candidats
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal 
.
1.Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.
2.Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
3.
a.Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
b.Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
c.Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
4.Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
Soit L le centre du carré DCGH.
Soit L le centre du carré DCGH.
a.Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
b.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
1.I est le milieu de [DE], J est le milieu de [DB] et K est le milieu de [IJ].
On obtient:
On obtient:
2.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.
3.
a.On sait que KI = KJ car K est le milieu de ![[IJ]](/files/formules/f_7a7ce3462b6fed82afe302212f629f86.gif)
. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :
AI = AJ =
GI = GJ =
Les points A, K et G sont équidistants de I et J et ne sont pas alignés, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ].
. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :AI = AJ =
GI = GJ =
Les points A, K et G sont équidistants de I et J et ne sont pas alignés, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ].
b.Soit 
En développant puis en réduisant on obtient l'équation de (AKG)
En développant puis en réduisant on obtient l'équation de (AKG)
c.Il suffit de vérifier que les coordonnées de D vérifient l'équation trouvée.
4.
a.L est le milieu de [DG]. On en déduit 
Le milieu de [AL] a comme coordonnées
; c'est donc K.
Le milieu de [AL] a comme coordonnées
; c'est donc K.
b.K est le milieu de [AL], donc le barycentre de 
L est le milieu de [DG], donc le barycentre de
Par associativité du barycentre, K est le barycentre de
L est le milieu de [DG], donc le barycentre de
Par associativité du barycentre, K est le barycentre de