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Bac S Amérique du Nord 2011 - Géométrie dans l'espace : Barycentres

Exercice 3

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels a, b et c de somme non nulle.

Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l'ensemble des points M de l'espace tels que ||a vec(M`A`) + b vec(M`B`) + c vec(M`C`)|| = k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.

Bac S Amerique 2011 - Cube

Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L'espace est rapporté au repère orthonormal (`A`;vec(`AB`),vec(`AD`),vec(`AE`)).

1. Démontrer que le vecteur vec(n) de coordonnées (1;0;1) est un vecteur normal au plan (BCE).
2. Déterminer une équation du plan (BCE).
3. On note (Delta) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Delta).

4. Démontrer que la droite (Delta) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.
5.

a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs 1, -1 et 2.
b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (S) des points M de l'espace tels que || vec(M`R`) - vec(M`B`) + 2 vec(M`C`)|| = 2sqrt(2).
c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble (S).
d. Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.
Corrigé
Partie A

Comme a+b+c!=0 le barycentre G de A, B, C existe et vérifie la relation :
avec(GA)+bvec(GB)+cvec(GC)=vec(0)
D’après la relation de Chasles :
avec(MA)+bvec(MB)+cvec(MC)=avec(MG)+avec(GA)+bvec(MG)+bvec(GB)+cvec(MG)+cvec(GC)=(a+b+c)vec(MG)
L’ensemble cherché est donc l’ensemble des points M tel que :
|a+b+c|MG=k
C’est-à-dire MG=k/(|a+b+c|)
C’est donc la sphère de centre G et de rayon k/(|a+b+c|).

Partie B
1. Il suffit de montrer que vec(n) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCE). Or :
vec(BC)(0;1;0) et vec(BE)(-1;0;1)
Donc :
vec(n).vec(BC)=0 et vec(n).vec(BE)=0.
2. D’après la question précédente le plan (BCE) admet une équation de la forme :
1x+0y+1z+d=0
B appartient à ce plan donc :
1+d=0 soit d=-1.
L’équation du plan (BCE) est donc :
x+z-1=0.
3. La droite (Delta) est orthogonale à (BCE) donc admet vec(n) comme vecteur directeur. Elle passe par E(0;0;1).
Une représentation paramétrique de (Delta) est donc :
syst(x=t;y=0;z=t+1)
Où t parcourt RR.
4. Le plan (ABC) a pour équation z=0.
Le point R(x;y;z) appartient à l’intersection de (ABC) et de (Delta) si et seulement si ses coordonnées vérifient le système :
syst(x=t;y=0;z=t+1;z=0)
Qui est équivalent à :
syst(x=-1;y=0;z=0;t=-1)
Donc (Delta) est sécante au plan (ABC) au point R(-1 ;0 ;0).
Les coordonnées de R étant les opposées des coordonnées de B, R est le symétrique de B par rapport à l’origine A.
5.

a. Le barycentre recherché a pour coordonnées ((-1-1+2)/2;2/2;0) c'est-à-dire (0;1;0).
C’est donc le point D.
b. D’après la partie A, l’ensemble (S) est la sphère de centre D et de rayon sqrt(2).
c. On calcule facilement :
DB=sqrt(2)
DE=sqrt(2)
DG=sqrt(2)
Donc les points D, E et G appartiennent à la sphère (S).
d. L’intersection d’une sphère et d’un plan est soit un cercle, soit un point, soit l’ensemble vide. Comme ici B et E appartiennent à cette intersection, cet ensemble est nécessairement un cercle.
La distance du centre de la sphère au plan (BCE) est :
d=(|0+0-1|)/(sqrt(1^2+1^2))=1/(sqrt(2))=(sqrt(2))/2
D’après le théorème de Pythagore le rayon r de ce cercle est :
r^2=R^2-d^2
Où R est le rayon de la sphère. Donc :
r^2=2-1/2=3/2
Et finalement r=sqrt(3/2)=(sqrt(6))/2.

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