Intersection de tangentes
Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
.
est la parabole d'équation 
est la droite d'équation 
où 
, et se coupent en deux points distincts.
et 
les points d'intersection de et de .Montrer que, pour tout
, les tangentes à aux points et sont perpendiculaires.
de ces tangentes. lorsque 
décrit 
?
est un point d'intersection de et de ssi :
On remplace y par x² dans la seconde équation :
est strictement positif car il est supérieur à 16.
L'équation a deux solutions:
On a alors 
et 
et se coupent donc aux points de coordonnées 
et 
Conclusion
et se coupent en deux points distincts.
Le coefficient directeur de la tangente à P au point
est 
. Comme f(x)=x², f'(x)=2x donc:
Le coefficient directeur de la tangente à P au point est 
Le produit des coefficients directeurs vaut :
Le produit des coefficients directeurs vaut -1 donc :
Conclusion
Les deux tangentes sont perpendiculaires.
a pour équation:
c'est à dire
De même, l'équation de la tangente à la parabole en a pour équation:
Pour trouver les coordonnées de l'intersection on résout le système :
Par substitution, il est équivalent à :
La deuxième équation donne successivement :
or 
donc l'équation devient:
c'est à dire 
En remplaçant x dans la première équation du système on obtient :
C'est une identité remarquable:
Conclusion
Les coordonnées de sont donc 
décrit l'abscisse de décrit tandis que son ordonnée est constante et égale à 
.
Conclusion
L'ensemble des points lorsque décrit est la droite d'équation 