Bac S Amérique du Nord 2011 - Arithmétique : Suite d'entiers
Exercice 3
Enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
" Si 
est un nombre premier et 
un entier naturel premier avec , alors
".
On considère la suite 
définie pour tout entier naturel 
non nul par :
1. Calculer les six premiers termes de la suite.
2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, 
est pair.
non nul, est pair.
3. Montrer que, pour tout entier naturel pair non nul, est divisible par 4.
pair non nul, est divisible par 4.
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite .
4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?
5. Soit un nombre premier strictement supérieur à 3.
un nombre premier strictement supérieur à 3.
a. Montrer que : 
et 
.
et .
b. En déduire que 
.
.
c. Le nombre appartient-il à l'ensemble (E) ?
appartient-il à l'ensemble (E) ?